系数行列式不等于0说明什么

行列式不等于0说明什么

1. 行列式不等于零,方程组只有零解

对于齐次线性方程组，当方程组的系数矩阵的行列式不等于零时，说明方程组只有零解。这是因为行列式不等于零，意味着矩阵是可逆的，存在一个逆矩阵。而线性方程组的解可以表示为逆矩阵与常数向量乘积的形式，当只有零向量满足这个关系时，方程组只有零解。

2. 矩阵是可逆的，存在逆矩阵

行列式不等于零意味着矩阵是可逆的，即存在一个逆矩阵。逆矩阵的存在使得我们可以通过逆矩阵来解线性方程组，找到唯一的解。如果行列式等于零，矩阵就是奇异的，没有逆矩阵，方程组可能没有解或者有无穷多解。

3. 特征值不等于零

行列式不等于零说明特征值不等于零。这是因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而可逆矩阵的行列式不等于零。矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A与B的乘积等于单位矩阵，则称A为可逆矩阵，单位矩阵的特征值都为1，所以矩阵的特征值不等于零。

4. 矩阵满秩，行（列）向量组线性无关

行列式不为零，则表明矩阵满秩，即行（或列）向量组线性无关。矩阵的行列式表示矩阵的行（或列）向量组的性质，当行列式不为零时，说明行（或列）向量组是线性无关的，不存在线性相关的情况。

5. 矩阵经过高斯消元后仅剩对角线上有值且都不为零

如果矩阵的行列式不等于零，即r(A) = n，其中n为矩阵的阶数，那么经过高斯消元操作后的被消元矩阵仅剩下对角线上有值且都不为零。假设矩阵A经过高斯消元后对角线上的元素依次为k1,k2,...,kn，那么经过消元后的矩阵可以表示为[k1, 0, 0, ..., 0

0, k2, 0, ..., 0